Question

15． 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，CB=CD=1，∠BCD=120°，E为线段BP的靠近点B的一个四等分点，AE⊥PC．
（1）求棱PA的长；
（2）求平面PCB与平面PCD所成的角（锐角）的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AP}$所在方向分别为y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz，设PA=t，通过向量的加法运算及$\overrightarrow{AE}$⊥$\overrightarrow{PC}$，计算即可；
（2）所求值即为平面PCB的法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，利用向量知识计算即可．

解答 解：（1）以$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AP}$所在方向分别为y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz如图，
∵∠ABC=∠ADC=90°，CB=CD=1，
∴△ABC≌△ADC，
又∵∠BCD=120°，
∴∠BCA=∠ACD=60°，
∴AC=$\frac{DC}{cos60°}$=$\frac{1}{cos60°}$=2，
∴A（0，0，0），C（0，2，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），
设PA=t，则P（0，0，t） （t＞0），
∴$\overrightarrow{BP}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$，t），$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{BP}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{8}$，-$\frac{3}{8}$，$\frac{t}{4}$），
从而$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，$\frac{9}{8}$，$\frac{t}{4}$），
又∵$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-t），且$\overrightarrow{AE}$⊥$\overrightarrow{PC}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{PC}$=$\frac{9}{4}-\frac{{t}^{2}}{4}$=0，解得t=3，
∴棱PA的长为3；
（2）由（1）知C（0，2，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），P（0，0，3），D（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{CP}$=（0，-2，3），$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{DC}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
设平面PCB的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-2y+3z=0}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，
取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，3，2），
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-2y+3z=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，
取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-3，-2），
∵$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}×\sqrt{3}+3×（-3）+2×（-2）}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}+{2}^{2}}×\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（-3）^{2}+（-2）^{2}}}$=-$\frac{5}{8}$，
∴平面PCB与平面PCD所成的角（锐角）的余弦值为$\frac{5}{8}$．

点评 本题考查空间点、线、面位置关系、求二面角大小等有关基础知识，同时考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，考查数形结合和化归与转化等数学思想方法，注意解题方法的积累，属于中档题．