Question

12．以下命题，错误的是①②③（写出全部错误命题）
①若f（x）=x³+（a-1）x²+3x+1没有极值点，则-2＜a＜4
②f（x）=$\frac{mx+1}{x+3}$在区间（-3，+∞）上单调，则m≥$\frac{1}{3}$
③若函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$-m有两个零点，则m＜$\frac{1}{e}$
④已知f（x）=log_ax（0＜a＜1），k，m，n∈R⁺且不全等，$则f（\frac{k+m}{2}）+f（\frac{m+n}{2}）+f（\frac{k+n}{2}）＜f（k）+f（m）+f（n）$．

Answer 1

分析 ①若f（x）没有极值点，则f′（x）=3x²+2（a-1）x+3≥0恒成立，可得△≤0，解出即可判断出正误；
②f（x）在区间（-3，+∞）上单调，f′（x）=$\frac{3m-1}{（x+3）^{2}}$≥0或f′（x）≤0恒成立，且m=$\frac{1}{3}$时舍去，解出即可判断出正误；
③f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，利用单调性可得：当x=e时，函数f（x）取得最大值，f（e）=$\frac{1}{e}-m$．且x→0，f（x）→-∞；x→+∞，f（x）→-m．若函数f（x）有两个零点，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{e}-m＞0}\\{-m＜0}\end{array}\right.$，解得即可判断出正误；
④由于f（x）=log_ax（0＜a＜1），可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．k，m，n∈R⁺且不全等，kd $\frac{k+m}{2}≥m$，$\frac{k+n}{2}≥k$，$\frac{m+n}{2}≥n$，等号不全相等，即可判断出正误．

解答 解：①若f（x）=x³+（a-1）x²+3x+1没有极值点，则f′（x）=3x²+2（a-1）x+3≥0恒成立，∴△=4（a-1）²-36≤0，解得-2≤a≤4，因此①不正确；
②f（x）=$\frac{mx+1}{x+3}$在区间（-3，+∞）上单调，f′（x）=$\frac{3m-1}{（x+3）^{2}}$≥0或f′（x）≤0恒成立，且m=$\frac{1}{3}$时舍去，因此m∈R且m≠$\frac{1}{3}$，因此②不正确；
③f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，∴当x=e时，函数f（x）取得最大值，f（e）=$\frac{1}{e}-m$．且x→0，f（x）→-∞；x→+∞，f（x）→-m．若函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$-m有两个零点，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{e}-m＞0}\\{-m＜0}\end{array}\right.$，解得$0＜m＜\frac{1}{e}$，因此③不正确．
④∵f（x）=log_ax（0＜a＜1），∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．∵k，m，n∈R⁺且不全等，则$\frac{k+m}{2}≥m$，$\frac{k+n}{2}≥k$，$\frac{m+n}{2}≥n$，等号不全相等，
$则f（\frac{k+m}{2}）+f（\frac{m+n}{2}）+f（\frac{k+n}{2}）＜f（k）+f（m）+f（n）$，因此正确．
综上可得：错误的是①②③．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．