Question

17．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）解析式；
（2）若f（x₀）=$\frac{4}{5}$（$\frac{π}{6}$＜x₀＜$\frac{5π}{12}$），求cos2x₀的值．

Answer 1

分析 （1）由图象可知A，T，由周期公式可求ω，由sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=1，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求φ，即可求得函数f（x）解析式．
（2）由f（x₀）=$\frac{4}{5}$，可求sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，又$\frac{π}{6}$＜x₀＜$\frac{5π}{12}$，则可求cos（2x₀+$\frac{π}{6}$），由两角差的余弦函数公式即可求值．

解答 解：（1）由图象可知A=1，
周期T=2（$\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}$）=2×$\frac{π}{2}$=π，所以ω=$\frac{2π}{T}$=2，…3分
sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=1，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，则φ=$\frac{π}{6}$．
所以f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）…6分
（2）因为f（x₀）=$\frac{4}{5}$，所以sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，又$\frac{π}{6}$＜x₀＜$\frac{5π}{12}$，则$\frac{π}{2}＜$2x₀+$\frac{π}{6}$＜π，
可得：cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（2{x}_{0}+\frac{π}{6}）}$=-$\frac{3}{5}$…9分
所以cos2x₀=cos[（2x₀+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=-$\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{4}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{-3\sqrt{3}+4}{10}$…12分

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，两角差的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．