Question

12．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），过右焦点F且不与x轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，AB的垂直平分线交x轴于点N，求$\frac{NF}{AB}$的值．

Answer 1

分析 设直线l的方程为：y=k（x-c）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀）．与椭圆方程联立可得：（b²+k²a²）x²-2a²k²cx+a²k²c²-a²b²=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得：|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{2a{b}^{2}（1+{k}^{2}）}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，AB的垂直平分线为：$y-{y}_{0}=-\frac{1}{k}（x-{x}_{0}）$，可得|NF|=c-x_N，即可得出$\frac{|NF|}{|AB|}$．

解答 解：设直线l的方程为：y=k（x-c）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-c）}\\{{b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}{b}^{2}}\end{array}\right.$，化为（b²+k²a²）x²-2a²k²cx+a²k²c²-a²b²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}{k}^{2}c}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}{k}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{2a{b}^{2}（1+{k}^{2}）}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{{a}^{2}{k}^{2}c}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$．
∴y₀=k（x₀-c）=-$\frac{{b}^{2}ck}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
∴AB的垂直平分线为：$y+\frac{{b}^{2}ck}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$=$-\frac{1}{k}（x-\frac{{a}^{2}{k}^{2}c}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}）$，
令y=0，解得x_N=$\frac{{c}^{3}{k}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，∴$（\frac{{c}^{3}{k}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}，0）$．
∴|NF|=c-x_N=$\frac{{b}^{2}c（1+{k}^{2}）}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
∴$\frac{|NF|}{|AB|}$=$\frac{c}{2a}$．
当k=0时也成立．
∴$\frac{|NF|}{|AB|}$=$\frac{c}{2a}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、线段的垂直平分线方程、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．