Question

17．已知动点P在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面上运动，且PA=r（0＜r＜$\sqrt{3}$），记点P的轨迹长度为f（r）给出以下四个命题：
①f（1）=$\frac{3}{2}$π
②f（$\sqrt{2}$）=$\sqrt{3}$π
③f（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π
④函数f（r）在（0，1）上是增函数，f（r）在（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）上是减函数
其中为真命题的是①④（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 由题意画出图形并得出相应的解析式，画出其图象，经过讨论即可得出答案．

解答 解：如图所示：①当0＜r≤1时，f（r）=3×$\frac{π}{2}$×r=$\frac{3π}{2}$r，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3π}{4}$，
．此时，由一次函数的单调性可得：
0＜f（r）≤$\frac{3π}{2}$＜5，
②当1＜r≤$\sqrt{2}$时，在平面ABCD内，设以点A为圆心，r为半径的圆弧与BC、CD分别交于点E、F，则
cos∠DAF=$\frac{1}{r}$，∠EAF=$\frac{π}{2}$-2∠DAF，
∴cos∠EAF=sin2∠DAF=2$\sqrt{1-（\frac{1}{r}）^{2}}×\frac{1}{r}$=$\frac{2\sqrt{{r}^{2}-1}}{{r}^{2}}$，
cos∠EAG=$\frac{2{r}^{2}-（\sqrt{2}\sqrt{{r}^{2}-1}）^{2}}{2{r}^{2}}=\frac{1}{{r}^{2}}$，
∴f（r）=3rarccos$\frac{2\sqrt{{r}^{2}-1}}{{r}^{2}}$+3rarccos$\frac{1}{{r}^{2}}$；
③当$\sqrt{2}$＜r≤$\sqrt{3}$时，∵CM=$\sqrt{{r}^{2}-2}$，
∴${C}_{1}M={C}_{1}N=1-\sqrt{{r}^{2}-2}$，
∴cos∠MAN=$\frac{2{r}^{2}-[\sqrt{2}（1-\sqrt{{r}^{2}-2}）]^{2}}{2{r}^{2}}$=$\frac{1+2\sqrt{{r}^{2}-2}}{{r}^{2}}$，
∴f（r）=3rarccos$\frac{1+2\sqrt{{r}^{2}-2}}{{r}^{2}}$，
综上，当0＜r≤1时，f（r）=$\frac{3π}{2}$r，
当1＜r≤$\sqrt{2}$时，f（r）=3rarccos$\frac{2\sqrt{{r}^{2}-1}}{{r}^{2}}$+3rarccos$\frac{1}{{r}^{2}}$；
当$\sqrt{2}$＜r≤$\sqrt{3}$时，f（r）=3rarccos$\frac{1+2\sqrt{{r}^{2}-2}}{{r}^{2}}$，
故只有①④正确．
故答案为：①④．

点评 熟练掌握数形结合、分类讨论的思想方法、数形结合的思想方法是解题的关键．