Question

2．在锐角三角形ABC中，若tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则tanAtanC的值为3．

Answer 1

分析 利用等差数列列出关系式，利用三角形的内角和以及两角和的正切函数，化简求解即可．

解答 解：由题意知：A≠$\frac{π}{2}$，B≠$\frac{π}{2}$，C≠$\frac{π}{2}$，且A+B+C=π，tanA，tanB，tanC依次成等差数列，
∴2tanB=tanA+tanC，
∴tan（A+B）=tan（π-C）=-tanC，
又∵tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$，
∴tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）=-tanC（1-tanAtanB）=-tanC+tanAtanBtanC，
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，
∴tanAtanC=3．
故答案为：3．

点评 本题考查数列的应用，两角和的正切函数定义域，考查计算能力．