Question

7．已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x²+y²=9上．
（Ⅰ）求抛物线C₁的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C₂：$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}$=1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C₁的焦点重合，若椭圆C₂上存在关于直线l：y=$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}$对称的两个不同的点，求椭圆C₂的离心率e的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设点G的坐标为（x₀，y₀），利用已知条件列出x₀，y₀，p的方程组，然后求解抛物线方程．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是椭圆C₂上关于直线l：$y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}$对称的两点，设出MN：y=-4x+λ
联立直线与椭圆方程，利用△＞0，得到不等关系式，结合韦达定理求出中点坐标，纠错m的范围，然后求解离心率的范围．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设点G的坐标为（x₀，y₀），由题意可知$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}+\frac{p}{2}=3}\\{{x_0}^2+{y_0}^2=9}\\{{y_0}^2=2p{x_0}}\end{array}}\right.$…（2分）
解得：${x_0}=1，{y_0}=±2\sqrt{2}，p=4$，
所以抛物线C₁的方程为：y²=8x…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线C₁的焦点F（2，0）∵椭圆C₂的一个焦点与抛物线C₁的焦点重合∴椭圆C₂半焦距c=2，m²-n²=c²=4…①…（5分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是椭圆C₂上关于直线l：$y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}$对称的两点，MN：y=-4x+λ
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1}\\{y=-4x+λ}\end{array}}\right.$⇒（16m²+n²）x²-8m²λx+m²λ²-m²n²=0…（*）
则△=64m⁴λ²-4（16m²+n²）（m²λ²-m²n²）＞0，
得：16m²+n²-λ²＞0…②…（7分）
对于（*），由韦达定理得：${x_1}+{x_2}=\frac{{8{m^2}λ}}{{16{m^2}+{n^2}}}$∴${y_1}+{y_2}=-4（{x_1}+{x_2}）+2λ=\frac{{2λ{n^2}}}{{16{m^2}+{n^2}}}$MN中点Q的坐标为$（\frac{{4λ{m^2}}}{{16{m^2}+{n^2}}}，\frac{{λ{n^2}}}{{16{m^2}+{n^2}}}）$
将其代入直线l：$y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}$得：$\frac{{λ{n^2}}}{{16{m^2}+{n^2}}}=\frac{1}{4}×\frac{{4λ{m^2}}}{{16{m^2}+{n^2}}}+\frac{1}{3}$…③…（9分）
由①②③消去λ，可得：$2＜m＜\frac{{2\sqrt{629}}}{17}$，
∵椭圆C₂的离心率$e=\frac{c}{m}=\frac{2}{m}$，∴$\frac{{\sqrt{629}}}{37}＜e＜1$…（13分）

点评 本题考查直线与圆锥曲线方程的综合应用，椭圆的离心率的范围的求法，考查分析问题解决问题的能力．