已知平面直角坐标系 xOy中.过点 P的直线 l的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcos{45°}\\ y=-2+tsin{45°}\end{array}\right.$.以原点O为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为 ρsinθtanθ=2a.直线 l与曲线C相交于不同的两点M．N(Ⅰ)求曲线C和直线 l的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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17．已知平面直角坐标系 xOy中，过点 P（-1，-2）的直线 l的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcos{45°}\\ y=-2+tsin{45°}\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ρsinθtanθ=2a（a＞0），直线 l与曲线C相交于不同的两点M．N
（Ⅰ）求曲线C和直线 l的普通方程；
（Ⅱ）若|PM|=|MN|，求实数a的值．

分析（Ⅰ）利用极坐标方程和直角坐标的互化公式求解；
（Ⅱ）结合直线的参数方程中参数的几何意义求解即可．

解答解：（Ⅰ）∵$\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcos{45°}\\ y=-2+tsin{45°}\end{array}\right.$（t为参数），
∴直线l的普通方程：x-y-1=0，
∵曲线C的极坐标方程为 ρsinθtanθ=2a（a＞0），
∴ρ²sin²θ=2aρcosθ（a＞0），
∴曲线C的普通方程：y²=2ax；
（Ⅱ）∵y²=2ax；
∴x≥0，
设直线l上点M、N对应的参数分别为t₁，t₂，（t₁＞0，t₂＞0），
则|PM|=t₁，|PN|=t₂，
∵|PM|=|MN|，
∴|PM|=$\frac{1}{2}$|PN|，
∴t₂=2t₁，
将$\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcos{45°}\\ y=-2+tsin{45°}\end{array}\right.$，代人y²=2ax得
t²-2$\sqrt{2}$（a+2）t+4（a+2）=0，
∴t₁+t₂=2$\sqrt{2}$（a+2），
t₁t₂=4（a+2），
∵t₂=2t₁，
∴a=$\frac{1}{4}$．

点评本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识．

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