Question

8．已知a，b，c∈R，a²+b²+c²=1．
（1）若a+b+c=0，求a的最大值．
（2）若ab+bc+ca的最大值为M，解不等式|x+1|+|x-1|≥3M．

Answer 1

分析 （1）利用a²=（-b-c）²=b²+c²+2bc≤2（b²+c²）即可得出；
（2）利用基本不等式的性质可得：M=1．若不等式|x+1|+|x-1|≥3M对一切实数a，b，c恒成立，则|x+1|+|x-1|≥3，对x分类讨论即可得出．

解答 解：（1）∵a²=（-b-c）²=b²+c²+2bc≤2（b²+c²）
∴a²≤2（1-a²），∴3a²≤2，
即$-\frac{{\sqrt{6}}}{3}≤a≤\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴a的最大值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（2）∵$ab+bc+ca≤\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}+\frac{{{b^2}+{c^2}}}{2}+\frac{{{c^2}+{a^2}}}{2}=1$，∴M=1．
若不等式|x+1|+|x-1|≥3M对一切实数a，b，c恒成立，
则|x+1|+|x-1|≥3，
当x≥1时，化为2x≥3，解得$x≥\frac{3}{2}$，满足x≥1，∴$x≥\frac{3}{2}$；
当-1≤x＜1时，化为x+1-x+1≥3，即2≥3，此时x∈∅；
当x＜-1时，化为-2x≥3，解得x≤-$\frac{3}{2}$，满足x≤-1，∴x≤-$\frac{3}{2}$．
综上可得：不等式|x+1|+|x-1|≥3的解集为$（-∞，-\frac{3}{2}]$∪$[\frac{3}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、含绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．