Question

1．已知有如下等式：
①tan5°tan15°+tan15°tan70°+tan5°tan70°=a；
②tan10°tan25°+tan25°tan55°+tan10°tan55°=a；
③tan15°tan35°+tan35°tan40°+tan15°tan40°=a；
④tan20°tan45°+tan45°tan25°+tan20°tan25°=a．
（1）观察以上式子的规律并用特殊值求出a的值；
（2）归纳出一般的等式并证明．

Answer 1

分析 可以观察到：10°+20°+60°=90°，5°+15°+70°=90°，故可以猜想此推广式为：若α+β+γ=$\frac{π}{2}$，且α，β，γ都不等于kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），则有tanα•tanβ+tanβ•tanγ+tanγ•tanα=1．利用和角的正切公式，即可得出结论

解答 解：（1）可以观察到：10°+20°+60°=90°，5°+15°+70°=90°，
故可以猜想此推广式为：若α+β+γ=$\frac{π}{2}$，且α，β，γ都不等于kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
则有tanα•tanβ+tanβ•tanγ+tanγ•tanα=1． 
所以a=1；               
（2）证明：∵α+β+γ=$\frac{π}{2}$，∴α+β=$\frac{π}{2}$-γ，
∴tan（α+β）=tan（$\frac{π}{2}$-γ）=cotγ，
∴tanα+tanβ=cotγ（1-tanαtanβ），
∴tanα•tanβ+tanβ•tanγ+tanγ•tanα=1．

点评 合情推理中的类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．其思维过程大致是：观察、比较 联想、类推 猜测新的结论．