Question

13．在等比数列{a_n}中，a₁=1，a₃，a₂+a₄，a₅成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）若数列{b_n}满足b₁+$\frac{{b}_{2}}{2}$+…+$\frac{{b}_{n}}{n}={a}_{n}$（n∈N⁺），{b_n}的前n项和为S_n，求证S_n≤n•a_n（n∈N⁺）

Answer 1

分析 （1）通过将a₂、a₃、a₄、a₅用公比q表示及条件a₃、a₂+a₄、a₅成等差数列，可求出q=2，利用等比数列的通项公式计算即可；
（2）当n=1时，b₁=a₁=1，显然有S₁=1×a₁；当n≥2时，利用$\frac{{b}_{n}}{n}$=a_n-a_n-1可得b_n=n•2^n-2，求出S_n、2S_n，两者相减，利用错位相减法解得S_n，计算即可．

解答 （1）解：设数列{a_n}的公比为q，
∵a₁=1，∴a₂=q，a₃=q²，a₄=q³，a₅=q⁴，
又∵a₃，a₂+a₄，a₅成等差数列，
∴2（a₂+a₄）=a₃+a₅，
即2（q+q³）=q²+q⁴，
解得q=2或0（舍），
∴a_n=2^n-1；
（2）证明：∵数列{b_n}满足b₁+$\frac{{b}_{2}}{2}$+…+$\frac{{b}_{n}}{n}$=a_n（n∈N⁺），
∴当n=1时，b₁=a₁=1，
此时S₁=1×a₁；
当n≥2时，$\frac{{b}_{n}}{n}$=a_n-a_n-1=2^n-1-2^n-2=2^n-2，
∴b_n=n•2^n-2，
∴S_n=1+2×2⁰+3×2¹+4×2²+…+（n-1）×2^n-3+n×2^n-2，
∴2S_n=2×2⁰+2×2¹+3×2²+4×2³+…+（n-1）×2^n-2+n×2^n-1，
两式相减，得-S_n=1+2¹+2²+2³+…+2^n-2-n×2^n-1，
∴S_n=n×2^n-1-1-（2¹+2²+2³+…+2^n-2）
=n×2^n-1-1-$\frac{2×（1-{2}^{n-2}）}{1-2}$
=（n-1）×2^n-1-1
=n×2^n-1-（1+2^n-1）
＜n×2^n-1=n•a_n，
综上所述，S_n≤n•a_n（n∈N⁺）．

点评 本题考查考查等差、等比数列的性质，考查分类讨论的思想，考查分析问题的能力与计算能力，利用错位相减法求S_n是解决本题的关键，属于中档题．