Question

11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC+ccosA=2bcosA．
（1）求角A的值；
（2）求sinB+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简acosC+ccosA=2bcosA，结合三角形的内角和，求解A即可．
（2）转化sinB+sinC为B的正弦函数，条公交的范围，推出相位的范围，然后求解函数的最值．

解答 解：（1）因为acosC+ccosA=2bcosA，所以sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，
即sin（A+C）=2sinBcosA．
因为A+B+C=π，所以sin（A+C）=sinB．
从而sinB=2sinBcosA．…（4分）
因为sinB≠0，所以cosA=$\frac{1}{2}$．因为0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$．…（7分）
（2）sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=sinB+sin$\frac{2π}{3}$cosB-cos$\frac{2π}{3}$sinB
=$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）．…（11分）
因为0＜B＜$\frac{2π}{3}$，所以$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$．
所以sinB+sinC的取值范围为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．…（14分）

点评 本题考查正弦定理以及两角和与差的三角函数，三角形的解法，考查计算能力．