Question

1．某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课．为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间（单位：分钟），根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]．
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；
（Ⅱ）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；
（Ⅲ）若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求恰有一个学生的单程时间落在[40，50]上的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据频率分布直方图矩形面积之和为1，可求出直方图中的a的值；
（Ⅱ）先求出上学所需时间的平均值，再与20比较即可得到答案；
（Ⅲ）根据分层抽样确定[30，40）和[40，50）抽取的人数，列举任意抽取两人的基本事件，找出恰有一个学生的单程时间落在[40，50]上事件包含的基本事件，利用概率公式计算即可．

解答 解：（Ⅰ）时间分组为[0，10）的频率为
1-10（0.06+0.02+0，003+0.002）=0.15，
∴a=$\frac{0.15}{10}$=0.015，
所以所求的频率直方图中a的值为0.015．
（Ⅱ）100个非住校生上学路上单程所需时间的平均数：
$\overline{x}$=0.15×5+0.6×15+0.2×25+0.03×35+0.02×45=16.7，
因为16.7＜20，
所以该校不需要推迟5分钟上课．
（Ⅲ）依题意满足条件的单程所需时间在[30，40）中的有3人，不妨设为a，b，c，
单程所需时间在[40，50）中的有2人，不妨设为A，B，
从单程所需时间不小于30分钟的5名学生中，随机抽取2人共有以下10种情况：
（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B）其中恰有一个学生的单程所需时间落在[40，50]中的有以下6种：
（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），
故恰有一个学生的单程所需时间落在[40，50]中的概率P=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．