Question

10．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC的中点，沿AE将△AED折起，使二面角D-AE-B为60．
（1）求DE与平面AC所成角的大小；
（2）求二面角D-EC-B的大小．

Answer 1

分析 （1）作DO垂直面ABCD，垂足为O，过O作OF垂直AE于F，连接DF、OE，则∠OFD为二面角D-AE-B的平面角等于60°，∠OED为直线DE与面ABCD所成角，解△OFD和△OED，计算即可；
（2）过O作OG⊥CE于G，连接DG、FD′，则∠OGD为二面角D-EC-B的平面角，利用Rt△D′FE∽Rt△D′GO求出EG，解△EDG、△ODG，计算即可．

解答 解：作DO⊥面ABCD，垂足为O，过O作OF垂直AE于F、作OG⊥CE于G，
连接DF、DG、OE、FD′，
则DF⊥AE、DG⊥CE，∠OFD为二面角D-AE-B的平面角，∠OFD=60°．
（1）∠OED为直线DE与面ABCD所成角，
AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵DF•AE=AD•DE，
∴DF=$\frac{AD•DE}{AE}$=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$，
又∵$\frac{DO}{DF}$=sin∠OFD=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DO=DF•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{39}}{13}$，
∴sin∠OED=$\frac{DO}{DE}$=$\frac{\frac{3\sqrt{39}}{13}}{2}$=$\frac{3\sqrt{39}}{26}$，
∴DE与平面AC所成角的大小为arcsin$\frac{3\sqrt{39}}{26}$；
（2）∠OGD为二面角D-EC-B的平面角，
由（1）知DF=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$，DO=$\frac{3\sqrt{39}}{13}$，DE=2，
∴EF=$\sqrt{D{E}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{4-\frac{36}{13}}$=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$，
OF=$\sqrt{D{F}^{2}-D{O}^{2}}$=$\sqrt{\frac{36}{13}-\frac{27}{13}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
∴OE=$\sqrt{F{E}^{2}+F{O}^{2}}$=$\sqrt{\frac{16}{13}+\frac{9}{13}}$=$\frac{5\sqrt{13}}{13}$，
∵Rt△D′FE∽Rt△D′GO，
∴D′G=$\frac{D′F}{DE}•D′O$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}•$（$\frac{6\sqrt{13}}{13}$+$\frac{3\sqrt{13}}{13}$）=$\frac{27}{13}$，
∴EG=$\frac{27}{13}$-2=$\frac{1}{13}$，
∴OG=$\sqrt{O{E}^{2}-E{G}^{2}}$=$\sqrt{\frac{25}{13}-\frac{1}{13×13}}$=$\frac{18}{13}$，
∴tan∠OGD=$\frac{DO}{GO}$=$\frac{\frac{3\sqrt{39}}{13}}{\frac{18}{13}}$=$\frac{\sqrt{39}}{6}$，
∴二面角D-EC-B的大小为arctan$\frac{\sqrt{39}}{6}$．

点评 本题考查的知识点是直线与平面、平面与平面所成的角，其中添加辅助线，构造出所求角的平面角，将线面夹角问题转化为解三角形问题是解答本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．