Question

5．已知f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）+2x在[$\frac{1}{2}$，+∞）单调递增，求a的取值范围；
（3）当n∈N^*，试比较（$\frac{n}{n+1}$）^n（n+1）与（$\frac{1}{e}$）ⁿ⁺²的大小，并证明．

Answer 1

分析 （1）求导数，然后在定义域内研究导数的符号即可；
（2）只需g′（x）≥0在区间$[\frac{1}{2}，+∞）$上恒成立即可，然后分离参数a，研究不等号另一侧函数的最值，利用导数不难解决；
（3）两边取对数，然后将不等号右边适当缩小，最终转化为证明ln（x+1）＜x，x∈（0，1）时恒成立即可．

解答 解：（1）f（x）=$lnx+\frac{1}{x}$，（x＞0）．
所以$f′（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{x-1}{{x}^{2}}$，令f′（x）＞0得x＞1；f′（x）＜0得0＜x＜1．
所以f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
（2）g（x）=$lnx+\frac{a}{x}+2x$，（x＞0）．
由题意$g′（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}+2$≥0在[$\frac{1}{2}，+∞$）上恒成立．
即$a≤2{x}^{2}+x=2（x+\frac{1}{4}）^{2}-\frac{1}{8}$，x$≥\frac{1}{2}$时恒成立．
显然当x=$\frac{1}{2}$时，右式的最小值为1，
故a≤1即为所求．
（3）对于（$\frac{n}{n+1}$）^n（n+1）与（$\frac{1}{e}$）ⁿ⁺²，因为n∈N^*，
所以只需比较$n（n+1）ln\frac{n}{n+1}$，与$（n+1）ln\frac{1}{e}$的大小，又n+1＞0，
所以只需比较nln$\frac{n}{n+1}$与-1的大小，
即比较$-nln\frac{n+1}{n}=-nln（1+\frac{1}{n}）$与-1的大小，
也就是比较$ln（1+\frac{1}{n}）$与$\frac{1}{n}$的大小，令t=$\frac{1}{n}∈（0，1）$．
则函数g（x）=ln（1+x）-x，x∈（0，1）．
因为$g′（x）=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}＜0$，所以g（x）在（0，1）上递减，
所以g（x）_max=g（0）=0．
故g（x）＜0，x∈（0，1）时恒成立，
所以ln（$1+\frac{1}{n}$）$＜\frac{1}{n}$恒成立，依次逆推回去可得
（$\frac{n}{n+1}$）^n（n+1）＞（$\frac{1}{e}$）ⁿ⁺²．

点评 本题的前两问属于常规题型，第三问充分利用取对数、转化与化归的思想方法，要注意每一步转化的等价性，有一定技巧性．