Question

14．（1）已知0＜x＜$\frac{4}{3}$，求x（4-3x）的最大值．
（2）点（x，y）在直线x+2y=3上移动，求2^x+4^y的最小值．

Answer 1

分析 （1）0＜x＜$\frac{4}{3}$，则x（4-3x）=$\frac{1}{3}•3x•（4-3x）$，再利用基本不等式的性质即可得出．
（2）由点（x，y）在直线x+2y=3上移动，可得2^x+4^y≥2$\sqrt{{2}^{x}•{4}^{y}}$=2$\sqrt{{2}^{x+2y}}$，即可得出．

解答 解：（1）∵0＜x＜$\frac{4}{3}$，∴x（4-3x）=$\frac{1}{3}•3x•（4-3x）$≤$\frac{1}{3}（\frac{3x+4-3x}{2}）^{2}$=$\frac{4}{3}$，当且仅当x=$\frac{2}{3}$时取等号．
（2）∵点（x，y）在直线x+2y=3上移动，
∴2^x+4^y≥2$\sqrt{{2}^{x}•{4}^{y}}$=2$\sqrt{{2}^{x+2y}}$=2$\sqrt{{2}^{3}}$=4$\sqrt{2}$，当且仅当x=2y=$\frac{3}{2}$时取等号．
∴2^x+4^y的最小值为$4\sqrt{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．