Question

3．设平面区域D是由双曲线y²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1的两条渐近线和抛物线y²=-8x的准线所围成的三角形区域（含边界），若点（x，y）∈D，则$\frac{2y-x+1}{x+1}$的取值范围是（　　）

• A． [-1，$\frac{1}{3}$]
• B． [-1，1]
• C． [0，$\frac{1}{3}$]
• D． [0，$\frac{4}{3}$]

Answer 1

分析 先求出双曲线的两条渐近线为，抛物线y²=-8x的准线为x=2，结合图象可得在点B（2，-1）时，$\frac{y+1}{x+1}$=0，在点O（0，0）时，$\frac{y+1}{x+1}$=1，由此求得目标函数$\frac{2y-x+1}{x+1}$的取值范围．

解答 解：双曲线y²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1的两条渐近线为y=$±\frac{1}{2}x$，抛物线y²=-8x的准线为x=2．
故可行域即图中阴影部分，（含边界）．
目标函数z=$\frac{2y-x+1}{x+1}$=2•$\frac{y+1}{x+1}$-1中的$\frac{y+1}{x+1}$表示（x，y）与（-1，-1）连线的斜率，
故在点B（2，-1）时，$\frac{y+1}{x+1}$=0，在点O（0，0）时，$\frac{y+1}{x+1}$=1，
∴2•$\frac{y+1}{x+1}$-1∈[-1，1]
故选：B．

点评 本题主要考查抛物线、双曲线的标准方程，以及简单性质，简单的线性规划问题，属于中档题．