Question

8．已知f（n）=${∫}_{0}^{\frac{π}{n}}$sin（nx）dx，若对于?∈R，f（1）+f（2）+…+f（n）＜|x+3|+|x-1|恒成立，则正整数n的最大值为3．

Answer 1

分析 先根据定积分计算出f（n），再根据绝对值的几何意义求出|x+3|+|x-1|的最小值为4，继而得到n的最大值．

解答 解：f（n）=${∫}_{0}^{\frac{π}{n}}$sin（nx）dx=-$\frac{1}{n}$cosnx${|}_{0}^{\frac{π}{n}}$=-$\frac{1}{n}$（cosπ-cos0）=$\frac{2}{n}$，
根据绝对值的几何意义，得到|x+3|+|x-1|≥4，
∵对于?∈R，f（1）+f（2）+…+f（n）＜|x+3|+|x-1|恒成立，
∴$\frac{2}{1}$+$\frac{2}{2}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{4}$+…+$\frac{2}{n}$=3+$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{4}$++…+$\frac{2}{n}$＜4，
∴正整数n的最大值为3，
故答案为：3．

点评 本题考查了定积分的计算以及绝对值的几何意义，以及函数恒成立的问题，属于中档题．