Question

20．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且2$\sqrt{3}$S-$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，c=2．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a²+b²-c²=$\frac{6}{5}$ab，求b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形面积公式表示出S，代入已知等式整理求出tanA的值，即可确定出角A的大小；
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosC，将已知等式代入求出cosC的值，进而求出sinC的值，由sinB=sin（A+C），求出sinB的值，利用正弦定理求出b的值即可．

解答 解：（Ⅰ）由2$\sqrt{3}$S-$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，得2$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$bcsinA-bccosA=0，即$\sqrt{3}$sinA-cosA=0，
∴tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则A=$\frac{π}{6}$；
（Ⅱ）∵a²+b²-c²=$\frac{6}{5}$ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{3}{5}$，
∵C为三角形内角，
∴sinC=$\frac{4}{5}$，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$，
由正弦定理$\frac{c}{sinC}$=$\frac{b}{sinB}$，得：b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{2×\frac{3+4\sqrt{3}}{10}}{\frac{4}{5}}$=$\frac{3+4\sqrt{3}}{4}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．