Question

5．已知方程：x³-12x+1-a=0在[1，3]上有解，则实数a的取值范围是[-15，-8]．

Answer 1

分析 由题意可得a-1=x³-12x在[1，3]上有解．令f（x）=x³-12x，求出导数，求得f（x）在[1，3]上的值域，即可得到a-1的范围，进而得到a的范围．

解答 解：方程x³-12x+1-a=0在[1，3]上有解，
即为a-1=x³-12x在[1，3]上有解．
令f（x）=x³-12x，
则f′（x）=3x²-12=3（x-2）（x+2），
令f′（x）=0，解得x=2（-2舍去），
由f（2）=2³-24=-16，
f（1）=-11，f（3）=27-36=-9，
则f（x）在[1，3]的值域为[-16，-9]，
由-16≤a-1≤-9，
解得-15≤a≤-8．
故答案为：[-15，-8]．

点评 本题考查函数和方程的转化思想，主要考查参数分离和导数的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．