Question

14．设a，b，n∈N^*，且a≠b，对于二项式$（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{n}$
（1）当n=3，4时，分别将该二项式表示为$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$（p，q∈N^*）的形式；
（2）求证：存在p，q∈N^*，使得等式$（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{n}$=$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$与（a-b）ⁿ=p-q同时成立．

Answer 1

分析 （1）当n=3，4时，利用二项式定理把二项式$（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{n}$表示为$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$（p，q∈N^*）的形式．
（2）分n为奇数、n为偶数两种情况，分别把${（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}^{n}$ 展开，综合可得结论；同理可得 ${（\sqrt{a}+\sqrt{b}）}^{n}$=$\sqrt{p}$+$\sqrt{q}$，从而证得p-q=（a-b）ⁿ．

解答 （1）当n=3时，${（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}^{3}$=（a+3b）$\sqrt{a}$-（b+3a）$\sqrt{b}$=$\sqrt{a{•（a+3b）}^{2}}$-$\sqrt{b{•（b+3a）}^{2}}$；
当n=4时，${（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}^{4}$=a²-4a$\sqrt{ab}$+6ab-4b$\sqrt{ab}$+b²=（a²+6ab+b²）-4（a+b）$\sqrt{ab}$=$\sqrt{{{（a}^{2}+6ab{+b}^{2}）}^{2}}$-$\sqrt{16ab{•（a+b）}^{2}}$，
显然是$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$（p，q∈N^*）的形式．
（2）证明：由二项式定理得${（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}^{n}$=$\sum_{i=0}^{n}$ （-1）ⁱ•${C}_{n}^{i}$•${（\sqrt{n}）}^{n-i}$•${（\sqrt{b}）}^{i}$，
若n为奇数，则${（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}^{n}$=[${C}_{n}^{0}$•${（\sqrt{a}）}^{n}$+${C}_{n}^{2}$•${（\sqrt{a}）}^{n-2}$•b+…+${C}_{n}^{n-1}$•$\sqrt{a}$•${（\sqrt{b}）}^{n-1}$]-[${C}_{n}^{1}$${（\sqrt{a}）}^{n-1}$•$\sqrt{b}$+${C}_{n}^{3}$•${（\sqrt{a}）}^{n-3}$ ${（\sqrt{b}）}^{3}$
+…+${C}_{n}^{n}$•${（\sqrt{b}）}^{n}$]，
分析各项指数的奇偶性易知，可将上式表示为μ$\sqrt{a}$-λ$\sqrt{b}$的形式，其中μ，λ∈N^*，
也即${（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}^{n}$=$\sqrt{{μ}^{2}a}$-$\sqrt{{λ}^{2}b}$=$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$，其中 p、q∈N^*．
若n为偶数，则${（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}^{n}$=[${C}_{n}^{0}$•${（\sqrt{a}）}^{n}$+${C}_{n}^{2}$•${（\sqrt{a}）}^{n-2}$•b+…+${C}_{n}^{n}$•${（\sqrt{b}）}^{n}$]-[${C}_{n}^{1}$${（\sqrt{a}）}^{n-1}$•$\sqrt{b}$+${C}_{n}^{3}$•${（\sqrt{a}）}^{n-3}$ ${（\sqrt{b}）}^{3}$
+…+${C}_{n}^{n-1}$•$\sqrt{a}$•${（\sqrt{b}）}^{n-1}$]，
类似地，可将上式表示为μ′$\sqrt{a}$-λ′$\sqrt{b}$的形式，其中μ′，λ′∈N^*，
也即${（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}^{n}$=$\sqrt{{μ′}^{2}a}$-$\sqrt{{λ′}^{2}b}$=$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$，其中 p、q∈N^*．
所以存在p，q∈N^*，使得等式${（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}^{n}$=$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$，
同理可得${（\sqrt{a}+\sqrt{b}）}^{n}$可以表示为 ${（\sqrt{a}+\sqrt{b}）}^{n}$=$\sqrt{p}$+$\sqrt{q}$，
从而有p-q=（$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$）（$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$）=${（\sqrt{a}+\sqrt{b}）}^{n}$•${（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}^{n}$=（a-b）ⁿ，
综上可知结论成立．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．