Question

4．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos2x，x∈R．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ） 在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别是a，b，c，若f（A）=2．C=$\frac{π}{4}$，c=2，C=$\frac{π}{4}$，f（A）=2，C=$\frac{π}{4}$，c=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用倍角公式可得：函数f（x）=$2sin（2x-\frac{π}{6}）$，再利用正弦函数的单调性即可得出；
（II）在△ABC中，由f（A）=2，可得A，利用正弦定理可得a，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos2x=$\sqrt{3}sin2x-cos2x$=$2sin（2x-\frac{π}{6}）$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，解得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间是$[kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{6}]$，k∈Z．
（Ⅱ）∵在△ABC中，f（A）=2．C=$\frac{π}{4}$，c=2，
∴$2sin（2A-\frac{π}{6}）$=2，化为$sin（2A-\frac{π}{6}）$=1，又0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$．
由据正弦定理可得：$\frac{a}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{c}{sin\frac{π}{4}}$，解得a=$\sqrt{6}$，
∴B=π-A-C=$\frac{5π}{12}$．
$sin\frac{5π}{12}$=$sin（\frac{π}{6}+\frac{π}{4}）$=$sin\frac{π}{6}cos\frac{π}{4}+cos\frac{π}{6}sin\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了倍角公式、三角函数的图象与性质、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．