Question

9．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F作斜率为-1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若△OFP的面积为$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{8}$，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{7}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{15}}}{3}$

Answer 1

分析 先设F点坐标，然后根据点斜式写出直线l方程，再与双曲线的渐近线联立，求出第一象限中的点P，根据三角形面积，求出a与b的关系，进而求出离心率．

解答 解：设右焦点F（c，0），则过F且斜率为-1的直线l方程为y=c-x
∵直线l交双曲线的渐近线于点P，且点P在第一象限
∴为$\left\{\begin{array}{l}{y=c-x}\\{y=\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$解得P（$\frac{ac}{a+b}$，$\frac{bc}{a+b}$）
∵△OFP的面积为$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{8}$，∴$\frac{1}{2}$•c•$\frac{bc}{a+b}$=$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{8}$整理得a=3b
∴该双曲线的离心率为$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$
故答案为：C．

点评 本题考查了双曲线的一些性质，离心率、焦点坐标等，同时考查了直线方程和三角形面积公式．