Question

18．对于函数f（x），g（x）和区间D，如果存在x₀∈D，使得|f（x₀）-g（x₀）|≤1，则称x₀是函数f（x）与g（x）在区间D上的“互相接近点”．现给出两个函数：①f（x）=x²+2，g（x）=2x；②f（x）=$\frac{lnx}{x}$，g（x）=2；③f（x）=e^-x+1，g（x）=-$\frac{1}{x}$；④f（x）=lnx，g（x）=x．则在区间（0，+∞）上存在唯一“互相接近点”的是①④．

Answer 1

分析 由“互相接近点”的概念可知，只要是能找到一个x₀，使得|f（x₀）-g（x₀）|≤1即可，因此只需构造函数h（x）=f（x）-g（x），利用单调性求其最大值或最小值和1比较，则问题即可解决

解答 解：对于①：由f（x）-g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，显然，当x=1时，取得最小值1，符合题意，显然只有x=1符合“相互接近点”定义，所以①符合题意；
对于②：由令h（x）=-f（x）+g（x）=-$\frac{lnx}{x}$+2，则h′（x）=$\frac{lnx-1}{{x}^{2}}$，当h′（x）＞0，则x＞1，令h′（x）＜0，0＜x＜1得所以函数h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）递增，所以x=1时，h（x）_min=h（1）=2，故|f（x₀）-g（x₀）|≥2，故在（0，+∞）不存在“相互接近点”，所以②不符合题意；
对于③：因为当x＞0时，e^-x＞0，则e^-x+1＞1，而此时-$\frac{1}{x}$＜0，故f（x）-g（x）＞1当x＞0时恒成立，故在（0，+∞）不存在“相互接近点”，所以③不符合题意；
对于④：令h（x）=x-lnx，则h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，令h′（x）＞0，则x＞1，令h′（x）＜0，得0＜x＜1，所以函数h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）递增，所以x=1时，h（x）_min=h（1）=1，故当x＞0时，存在唯一的“相互接近点”，故④符合题意，
故答案为：①④．

点评 本题主要考查对新定义的理解与运用，考查函数最值的判断，综合性较强，难度较大，考查学生分析问题的能力．