Question

3．已知函数f（x）=x³+ax²+x，a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上是增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a=0，对任意的x＞0，总有f（x）＜x（e^x+k）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，分类讨论利用f（x）在[-1，1]上是增函数，求导函数的最小值，即可求a的取值范围；
（Ⅱ）若a=0，对任意的x＞0，总有f（x）＜x（e^x+k）成立，可得k-1＞x²-e^x，求最值，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x³+ax²+x，∴f'（x）=3x²+2ax+1，对称轴为x=-$\frac{a}{3}$
∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴①-$\frac{a}{3}$＜-1，即a＞3时，f′（x）_min=f′（-1）≥0，
∴3-2a+1≥0，∴a≤2，不合题意；
②-1≤-$\frac{a}{3}$≤1，即-3≤a≤3时，f′（x）=0的判别式4a²-12≤0，
∴-$\sqrt{3}$≤a≤$\sqrt{3}$；
③-$\frac{a}{3}$＞1，即a＜-3时，f′（x）_min=f′-1）＞0，
∴3+2a+1＞0，∴a＞-2，不合题意，
综上，-$\sqrt{3}$≤a≤$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）若a=0，f（x）=x³+x．
由f（x）＜x（e^x+k），可得x³+x＜x（e^x+k），
∵x＞0，
∴k-1＞x²-e^x，
令g（x）=x²-e^x，则g′（x）=2x-e^x，
令h（x）=2x-e^x，则h′（x）=0，可得x=ln2，
∴h（x）在（0，ln2）上单调递增，在（ln2，+∞）上单调递减，
∴x=ln2时，h（x）取极大值h（ln2）=2ln2-2＜0
∴g′（x）＜h（ln2）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）＜g（0）=-1，
∴k-1≥-1，
∴k≥0．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．