Question

12．已知矩阵A的逆矩阵A^-1=$[\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}}&{\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{-\frac{\sqrt{2}}{2}}&{\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}]$．求曲线xy=1在矩阵A所对应的变换作用下所得的曲线方程．

Answer 1

分析 根据矩阵变换的特点代入计算即可．

解答 解：设xy=1上任意一点（x，y）在矩阵A所对应的变换作用下对应的点（x′，y′），
则$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=A^-1$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}}&{\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{-\frac{\sqrt{2}}{2}}&{\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，
由此得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}（x′+y′）}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}（y′-x′）}\end{array}\right.$，
代入方程xy=1，得y′²-x′²=2．
所以xy=1在矩阵A所对应的线性变换作用下的曲线方程为y²-x²=2．

点评 本题考查矩阵的变换等知识，注意解题方法的积累，属于基础题．