Question

7．在△ABC在，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=$\frac{1}{3}$，sinA=$\sqrt{2}$cosB．
（1）求tanB的值；
（2）若c=$\sqrt{5}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由cosC=$\frac{1}{3}$，C∈（0，π），可得sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$，由A+B+C=π，可得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{1}{3}sinB+\frac{2\sqrt{2}}{3}cosB$，又sinA=$\sqrt{2}$cosB．即可得出tanB．
（2）由（1）知tanB=$\sqrt{2}$，可得sinB，cosB．利用正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，又sinA=$\sqrt{2}$cosB，利用S=$\frac{1}{2}$bcsinA即可得出．

解答 解：（1）∵cosC=$\frac{1}{3}$，C∈（0，π），
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵A+B+C=π，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{1}{3}sinB+\frac{2\sqrt{2}}{3}cosB$，
又sinA=$\sqrt{2}$cosB．
∴$\sqrt{2}$cosB=$\frac{1}{3}sinB+\frac{2\sqrt{2}}{3}cosB$，
∴tanB=$\sqrt{2}$．
（2）由（1）知tanB=$\sqrt{2}$，∴$sinB=\frac{\sqrt{6}}{3}$，cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，$b=\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{\sqrt{5}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
又sinA=$\sqrt{2}$cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{15}}{2}×\sqrt{5}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理、两角和差的正弦函数、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．