Question

4．若不等式（x-a）²+（x-lna）²＞m对任意x∈R，a∈（0，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• B． （-∞，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• C． （-∞，$\sqrt{2}$）
• D． （-∞，2）

Answer 1

分析 设函数f（x）=2x²-2（a+lna）x+a²+ln²a，利用导数求出函数f（x）_min=$\frac{1}{2}$（a-lna）²，再构造函数g（a）=a-lna，利用导数求出g（a）_min=g（1）=1-ln1=1，继而得到f（x）的最小值，继而求出参数的取值范围

解答 解：∵（x-a）²+（x-lna）²＞m，
∴m＜2x²-2（a+lna）x+a²+ln²a对任意x∈R，a∈（0，+∞）恒成立，
设f（x）=2x²-2（a+lna）x+a²+ln²a，
∴f′（x）=4x-2（a+lna），
令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$（a+lna），
当f′（x）＞0时，即x＞$\frac{1}{2}$（a+lna），函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0时，即x＜$\frac{1}{2}$（a+lna），函数f（x）单调递减，
∴f（x）_min=f[$\frac{1}{2}$（a+lna）]=$\frac{1}{2}$（a-lna）²，
再设g（a）=a-lna，
∴g′（a）=1-$\frac{1}{a}$=$\frac{a-1}{a}$，
令g′（a）=0，解得a=1，
当a＞1时，函数g（a）为增函数，
当0＜a＜1时，函数g（a）为减函数，
∴g（a）_min=g（1）=1-ln1=1，
∴f（x）_min=f[$\frac{1}{2}$（a+lna）]=$\frac{1}{2}$（a-lna）²=$\frac{1}{2}$g（1）=$\frac{1}{2}$，
∴a＜$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查了导数和函数的最值的关系，关键是构造函数，属于中档题