Question

13．若实数a，b，c，d满足（b+a²-3lna）²+（c-d+2）²=0，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 8
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 化简得b=-（a²-3lna），d=c+2；从而得（a-c）²+（b-d）²=（a-c）²+（3lna-a²-（c+2））²表示了点（a，3lna-a²）与点（c，c+2）的距离的平方；作函数图象，利用数形结合求解．

解答 解：∵（b+a²-3lna）²+（c-d+2）²=0，
∴b=-（a²-3lna），d=c+2；
∴（a-c）²+（b-d）²=（a-c）²+（3lna-a²-（c+2））²，
其表示了点（a，3lna-a²）与点（c，c+2）的距离的平方；
作函数y=3lnx-x²与函数y=x+2的图象如下，

∵（3lnx-x²）′=$\frac{3}{x}$-2x=$\frac{3-2{x}^{2}}{x}$；
故令$\frac{3-2{x}^{2}}{x}$=1得，x=1；
故切点为（1，-1）；
结合图象可知，
切点到直线y=x+2的距离为$\frac{|1+2+1|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$；
故（a-c）²+（b-d）²的最小值为8；
故选：B．

点评 本题考查了函数的图象的作法及数形结合的思想应用，属于中档题．