Question

18．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，首项a₁=4，且a₁，a₅，a₁₃依次成等比数列，则该数列的通项公式a_n=n+3，数列$\{{2^{a_n}}\}$的前6项和为1008．

Answer 1

分析 根据等比中项的性质和等差数列的通项公式列出方程，求出公差d，再求出通项公式a_n，再有等比数列的前n项和公式求出数列$\{{2^{a_n}}\}$的前6项和．

解答 解：因为a₁=4，且a₁，a₅，a₁₃依次成等比数列，
所以${{a}_{5}}^{2}={a}_{1}{a}_{13}$，则（4+4d）²=4（4+12d），
解得d=1或d=0，
又等差数列{a_n}的公差d≠0，则d=1，
所以a_n=4+n-1=n+3，
则数列$\{{2^{a_n}}\}$的前6项和S=${2}^{{a}_{1}}$+${2}^{{a}_{2}}+…+{2}^{{a}_{6}}$
=2⁴+2⁵+…+2⁹=$\frac{{2}^{4}（1-{2}^{6}）}{1-2}$=1008，
故答案为：n+3；1008．

点评 本题考查了等比中项的性质，等差数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式，属于中档题．