Question

6．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1左焦点F的直线l交椭圆于A，B两点，证明$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$为定值．

Answer 1

分析 F（-1，0），设直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），代入椭圆的方程可得：（3+sin²α）t²-6tcosα-9=0，利用$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$即可证明．

解答 证明：F（-1，0），设直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
代入椭圆的方程可得3（-1+tcosα）²+4（tsinα）²=12，
化为（3+sin²α）t²-6tcosα-9=0，
∴t₁+t₂=$\frac{6cosα}{3+si{n}^{2}α}$，t₁t₂=$\frac{-9}{3+si{n}^{2}α}$．
∴|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{12}{3+si{n}^{2}α}$．
∴$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\frac{12}{3+si{n}^{2}α}}{\frac{9}{3+si{n}^{2}α}}$=$\frac{4}{3}$为定值．

点评 本题考查了直线的参数方程应用、直线与椭圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．