Question

11．如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁=4，D是棱AA₁上的点．试确定D的位置，使得DC₁⊥平面DBC，并求此时二面角A-BD-C的大小．

Answer 1

分析 首先以C为原点，直线CA，CB，CC₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，然后确定几个点的坐标，D在棱AA₁上，从而设D（2，0，z），根据$\overrightarrow{D{C}_{1}}⊥\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{D{C}_{1}}⊥\overrightarrow{CB}$即可求出z=2，从而得到点D的位置为棱AA₁的中点．此时$\overrightarrow{D{C}_{1}}$便是平面DBC的法向量，可取AB中点E，则容易说明$\overrightarrow{CE}$为平面ABD的法向量，若设二面角A-BD-C的大小为θ，则根据cos$θ=-cos＜\overrightarrow{D{C}_{1}}，\overrightarrow{CE}＞$即可求得θ．

解答 解：根据已知条件，以C为原点，以棱CA，CB，CC₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则：
C（0，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，4），A（2，0，0）；
D在棱AA₁上，∴设D（2，0，z），0≤z≤4；
∴$\overrightarrow{D{C}_{1}}=（-2，0，4-z）$，$\overrightarrow{CD}=（2，0，z），\overrightarrow{CB}=（0，2，0）$；
DC₁⊥平面DBC；
∴$\overrightarrow{D{C}_{1}}⊥\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{D{C}_{1}}⊥\overrightarrow{CB}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{D{C}_{1}}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{D{C}_{1}}•\overrightarrow{CB}=0}\end{array}\right.$；
∴-4+（4-z）z=0；
解得z=2；
∴D（2，0，2）；
∴D为棱AA₁的中点；
即D为棱AA₁中点时，DC₁⊥平面DBC；
∴$\overrightarrow{D{C}_{1}}=（-2，0，2）$为平面DBC的法向量；
取AB中点E，连接CE，AC=BC；
∴CE⊥AB；
又AA₁⊥平面ABC，CE?平面ABC；
∴AA₁⊥CE，即CE⊥AA₁，AA₁∩AB=A；
∴CE⊥平面ABD；
∴$\overrightarrow{CE}=（1，1，0）$为平面ABD的一个法向量；
设二面角A-BD-C的平面角的大小为θ，则：
cosθ=$-cos＜\overrightarrow{D{C}_{1}}，\overrightarrow{CE}＞$=$-\frac{\overrightarrow{D{C}_{1}}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{D{C}_{1}}||\overrightarrow{CE}|}=\frac{2}{\sqrt{8}•\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$；
∴θ=60°；
∴二面角A-BD-C的大小为60°．

点评 考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面垂直，及求二面角大小的问题，能求空间点的坐标，以及线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，两非零向量垂直的充要条件，平面法向量的概念及求法，平面法向量的夹角和二面角平面角大小的关系，两向量夹角余弦的坐标公式．