Question

2．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在一个周期内的图象如图所示，其中M（$\frac{π}{12}$，2），N（$\frac{π}{3}$，0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=$\sqrt{13}$，c=3，f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由图象可求f（x）的周期T，由周期公式可得ω，又f（x）过点（$\frac{π}{12}$，2），结合|φ|＜$\frac{π}{2}$，即可求得φ的值，从而可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）由f（$\frac{A}{2}$）=2sin（A+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，结合A∈（0，π），即可求得A的值，在△ABC中，由余弦定理得b²-3b-4=0，解得b的值，由三角形面积公式即可得解．

解答 本题满分（12分）．
解：（Ⅰ）由图象可知：函数f（x）的周期T=4×（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$）=π，（1分）
∴ω=$\frac{2π}{π}$=2．（2分）
又f（x）过点（$\frac{π}{12}$，2），
∴f（$\frac{π}{12}$）=2sin（$\frac{π}{6}$+φ）=2，sin（$\frac{π}{6}$+φ）=1，（3分）
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$+φ∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，即φ=$\frac{π}{3}$．（4分）
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．（5分）
（Ⅱ）∵f（$\frac{A}{2}$）=2sin（A+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，即sin（A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又A∈（0，π），A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），
∴A+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，即A=$\frac{π}{3}$．（7分）
在△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，a=$\sqrt{13}$，c=3，
由余弦定理得 a²=b²+c²-2bccosA，（8分）
∴13=b²+9-3b，即b²-3b-4=0，
解得b=4或b=-1（舍去）．（10分）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×4×3×sin\frac{π}{3}$=3$\sqrt{3}$．（12分）

点评 本题主要考查解三角形，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，属于中档题．