Question

14．已知a，b，c分别为△ABC三个内角的对边，且a+b=$\sqrt{3}csinA+ccosA$．
（I）求角C；
（Ⅱ）如图，设D为BC的中点，且AD=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知等式可得sin（C-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，又结合C∈（0，π），即可求得角C的值；
（Ⅱ）由余弦定理结合已知可得$\frac{ab}{2}≤4$，又由三角形面积公式可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab•sinC=2$\sqrt{3}$．从而解得△ABC面积的最大值．

解答 解：（I）由正弦定理可得：sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinCsinA+sinCcosA，又A+B+C=π，
∴sinA+sin（A+C）=$\sqrt{3}$sinCsinA+sinCcosA…3分
整理可得：1+cosC=$\sqrt{3}$sinC，
即：$\sqrt{3}$sinC-cosC=1，
有：sin（C-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，…6分
又C∈（0，π），
∴C-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
∴C=$\frac{π}{3}$．…7分
（Ⅱ）如图，由余弦定理可得：AD²=CA²+CD²+2CA•CD•cosC=CA²+CD²-CA•CD=b²+$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{ab}{2}$=ab$-\frac{ab}{2}$=$\frac{ab}{2}$，…10分
∴$\frac{ab}{2}≤4$，…11分
又S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab•sinC=2$\sqrt{3}$．
∴△ABC面积的最大值是2$\sqrt{3}$．…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．