Question

4．计算C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，可以采用以下方法：构造等式：C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ=（1+x）ⁿ，两边对x求导，得C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+nC_nⁿx^n-1=n（1+x）^n-1，在上式中令x=1，得C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2^n-1．类比上述计算方法，计算C_n¹+2²C_n²+3²C_n³+…+n²C_nⁿ=n（n+1）•2^n-2．

Answer 1

分析 构造等式：C_n¹x+2C_n²x²+3C_n³x³+…+nC_nⁿxⁿ=n（1+x）^n-1，两边对x求导，两边同乘以x，再两边求导后赋值即可．

解答 解：构造等式：C_n¹x+2C_n²x²+3C_n³x³+…+nC_nⁿxⁿ=n（1+x）^n-1，
两边对x求导，得C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+nC_nⁿx^n-1=n（1+x）^n-1，
两边同乘以x，得xC_n¹+2C_n²x²+3C_n³x³+…+nC_nⁿxⁿ=nx（1+x）^n-1，
再两边求导，得C_n¹+2²C_n²x²+3²C_n³x³+…+n²C_nⁿxⁿ=n[（1+x）^n-1+（n-1）x（1+x）^n-2]
令x=1，得C_n¹+2²C_n²x²+3²C_n³x³+…+n²C_nⁿxⁿ=n（n+1）•2^n-2，
故答案为：n（n+1）•2^n-2．

点评 本题主要考查二项式系数及利用组合数的关系应用倒序相加法求代数式的值．