Question

3．在数列{a_n}中，S_n为其前n项和，若a₁=$\frac{3}{2}$，a₂=2，并且S_n+1-3S_n+2S_n-1+1=0（n≥2）．试判断{a_n-1}（n∈N^*）是不是等比数列．

Answer 1

分析 由数列递推式变形得到S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）-1，即a_n+1=2a_n-1（n≥2），验证前两项后得答案．

解答 解：∵S_n+1-3S_n+2S_n-1+1=0，
∴S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）-1，即a_n+1=2a_n-1（n≥2），
又a₁=$\frac{3}{2}$，a₂=2，也满足上式，
∴a_n+1=2a_n-1（n∈N^*），即a_n+1-1=2（a_n-1）（n∈N^*），
∴数列{a_n-1}是公比为2，首项为a₁-1=$\frac{1}{2}$的等比数列．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．