Question

12．已知x，y为正实数，则$\frac{4x}{4x+y}$+$\frac{y}{x+y}$的最大值为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 化简$\frac{4x}{4x+y}$+$\frac{y}{x+y}$=$\frac{4}{4+\frac{y}{x}}$+$\frac{\frac{y}{x}}{\frac{y}{x}+1}$，再令$\frac{y}{x}$=t＞0，从而化简得$\frac{4}{4+t}$+$\frac{t}{t+1}$，令f（t）=$\frac{4}{4+t}$+$\frac{t}{t+1}$=1+$\frac{3t}{{t}^{2}+5t+4}$=1+$\frac{3}{t+\frac{4}{t}+5}$，利用基本不等式求最值．

解答 解：∵x，y为正实数，
∴$\frac{4x}{4x+y}$+$\frac{y}{x+y}$=$\frac{4}{4+\frac{y}{x}}$+$\frac{\frac{y}{x}}{\frac{y}{x}+1}$，
令$\frac{y}{x}$=t＞0，
则$\frac{4}{4+\frac{y}{x}}$+$\frac{\frac{y}{x}}{\frac{y}{x}+1}$=$\frac{4}{4+t}$+$\frac{t}{t+1}$，
令f（t）=$\frac{4}{4+t}$+$\frac{t}{t+1}$
=1+$\frac{3t}{{t}^{2}+5t+4}$
=1+$\frac{3}{t+\frac{4}{t}+5}$≤1+$\frac{3}{4+5}$=$\frac{4}{3}$，
（当且仅当t=$\frac{4}{t}$，即t=2时，等号成立）；
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了函数的化简与最值及基本不等式的应用，属于中档题．