Question

1．如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求证：AE∥平面BFD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AD⊥平面ABE，AD∥BC可证BC⊥AE，又BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，可证BF⊥AE即可证明AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）连接AC与BD，相交于点G，连接GF，则G为AC的中点．可证BF⊥CE，由BC=EB，可证GF∥AE，即可判定AE∥平面BFD．

解答 证明：（Ⅰ）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC
∴BC⊥平面ABE，
∵AE?平面ABE，
∴BC⊥AE
又∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，
∴BF⊥AE
∵BC?平面BCE，BF?平面BCE，BC与BF相交
∴AE⊥平面BCE；…6分
（Ⅱ）连接AC与BD，相交于点G，连接GF，则G为AC的中点．
∵BF⊥平面BCE，CD?平面BCE
∴BF⊥CE
∵BC=EB，
∴F为CE的中点
∴在△ACE中，GF∥AE
∵GF?平面BFD，AE?平面BFD
∴AE∥平面BFD…12分

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．