Question

9．已知函数f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）．
（I）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=1，sinB=2sinA，且△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求c的值．

Answer 1

分析 （I）f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，找出ω的值，即可确定出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由f（C）=1确定出C的度数，sinB=2sinA利用正弦定理化简得到b=2a，利用三角形面积公式列出关系式，把sinC与已知面积代入求出ab的值，联立求出a与b的值，利用余弦定理求出c的值即可．

解答 解：（I）f（x）=2cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∵ω=2，∴f（x）的最小正周期为π；
（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=1，
∴sin（2C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{π}{6}$＜2C+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，
∴2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，即C=$\frac{π}{3}$，
∵sinB=2sinA，∴b=2a①，
∵△ABC面积为2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$，即ab=8②，
联立①②，得：a=2，b=4，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=12，即c=2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及三角函数的周期性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．