Question

19．在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos²A．
（I）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=5$\sqrt{3}$，b=5，求sinBsinC的值．

Answer 1

分析 （I）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos²A，得到cosA的值，即可求解A．
（II）通过三角形的面积求出b、c的值，利用余弦定理以及正弦定理求解即可．

解答 解：（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos²A，得
2cos²A+3cosA-2=0，-----（2分）
即（2cosA-1）（cosA+2）=0．
解得cosA=$\frac{1}{2}$或cosA=-2（舍去）．-----（4分）
因为0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$．----（6分）
（II）由S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=5$\sqrt{3}$，得bc=20．
又b=5，所以c=4．-----（8分）
由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=25+16-20=21，故a=$\sqrt{21}$．---（10分）
又由正弦定理，得sinBsinC=$\frac{b}{a}$sinA•$\frac{c}{a}$sinA=$\frac{bc}{{a}^{2}}$•sin²A=$\frac{20}{21}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{7}$．----（12分）

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．