Question

9．已知函数$f（x）=sin（x+\frac{π}{6}）-cos（x+\frac{π}{3}），g（x）=2{sin^2}\frac{x}{2}$．
（Ⅰ）求函数y=f（x）+g（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，A为锐角，且角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若$a=\sqrt{5}$，$f（A）=\frac{{3\sqrt{5}}}{4}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 f（x）解析式利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简，整理得到结果，g（x）利用二倍角的余弦函数公式化简得到结果，
（Ⅰ）根据y=f（x）+g（x），确定出y与x解析式，利用正弦函数的单调性确定出y的单调递减区间即可；
（Ⅱ）由f（A）的值，确定出sinA的值，进而求出cosA的值，利用余弦定理列出关系式，把cosA与a的值代入，并利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出面积的最大值．

解答 解：f（x）=sinxcos$\frac{π}{6}$+cosxsin$\frac{π}{6}$-cosxcos$\frac{π}{3}$+sinxsin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$sinx，g（x）=1-cosx，
（Ⅰ）y=f（x）+g（x）=$\sqrt{3}$sinx-cosx+1=2sin（x-$\frac{π}{6}$）+1，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z），得2kπ+$\frac{2π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{5π}{3}$（k∈Z）
则y=f（x）+g（x）的单调递减区间是[2kπ+$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{5π}{3}$]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵f（A）=$\sqrt{3}$sinA=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
又∵A为锐角，
∴cosA=$\frac{1}{4}$，
又∵a=$\sqrt{5}$，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-5}{2bc}$=$\frac{1}{4}$，
∴b²+c²=5+$\frac{1}{2}$bc≥2bc，
∴bc≤$\frac{10}{3}$，当且仅当 b=c=$\frac{{3\sqrt{10}}}{3}$时，bc取得最大值，
∴△ABC的面积最大值为$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{5\sqrt{15}}{12}$．

点评 此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦函数的单调性，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．