Question

4．设函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{3^x}，x≤0\\{log_4}x，x＞0\end{array}\right.$，若关于x的方程af²（x）-f（x）=0恰有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （0，1]
• B． [1，+∞）
• C． [0，1]
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 结合方程af²（x）-f（x）=0恰有三个不同的实数解，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，进而结合函数f（x）的图象即可获得解答．

解答 解：由题意可知：函数f（x）的图象如下：
由关于x的方程af²（x）-f（x）=0恰有三个不同的实数解，
其中f（x）=0，即x=1是其中一个解，
则方程$\frac{1}{a}$=f（x）恰有2个不同的实数解，
即函数y=$\frac{1}{a}$与函数y=f（x）的图象恰有2个不同的交点．
由图象易知：$\frac{1}{a}$∈（0，1]，
实数a的取值范围为[1，+∞），
故选B．

点评 此题考查的是方程的根的存在性以及根的个数问题．在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、数形结合的思想．值得同学们体会反思．