Question

15．已知a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$，若a₁=$\frac{1}{2}$
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅的值，并猜想a_n的表达式；
（2）并用数学归纳法证明（1）中的猜想．

Answer 1

分析 （1）分别令n=2，3，4，5，代入数列的递推式能够依次求出a₂，a₃，a₄，a₅的值，并猜想a_n的表达式；
（2）猜想出数列的递推式，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答 （1）解：n分别取2，3，4，5，
得到a₂=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{4}{5}$，a₄=$\frac{8}{9}$，a₅=$\frac{16}{17}$．
猜想a_n=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$；
（2）证明：①当n=1时，a₁=$\frac{1}{2}$，命题成立．
②假设当n=k时命题成立，即a_k=$\frac{{2}^{k-1}}{{2}^{k-1}+1}$，
则当n=k+1时，a_k+1=$\frac{2•\frac{{2}^{k-1}}{{2}^{k-1}+1}}{1+\frac{{2}^{k-1}}{{2}^{k-1}+1}}$=$\frac{{2}^{k}}{{2}^{k}+1}$，
故命题也成立．                     
由①②可得，对一切n∈N₊都有a_n=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$成立．

点评 考查根据数列的前几项确定数列的通项公式，考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．