Question

6．已知正三棱锥S-ABC的侧棱SA，SB，SC两两互相垂直，D，E，F分别是它们的中点，SA=SB=SC=2，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，加上点S，把这四个点每两个点相连后得到一个“空间体”，记这个“空间体”的体积为X（若点S与所取三点在同一平面内，则规定X=0）．
（Ⅰ）求事件“X=0”的概率；
（Ⅱ）求随机变量X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出从A、B、C、D、E、F六个点中任取三个点的所有不同的取法，再求出其中所选取的3个点与点S在同一平面内的取法，然后利用古典概型概率计算公式求得所求事件“X=0”的概率；
（Ⅱ）由题意可得X的所有可能取值为0，$\frac{1}{6}，\frac{1}{3}，\frac{2}{3}，\frac{4}{3}$．然后利用古典概型概率计算公式分别求出概率，列出频率分布表，再由期望公式求期望．

解答 解：（Ⅰ）从A、B、C、D、E、F六个点中任取三个点共有${C}_{6}^{3}=20$种不同的取法，
其中所选取的3个点与点S在同一平面内的取法有${C}_{3}^{1}{C}_{4}^{3}=12$不同取法，
∴所求事件“X=0”的概率P（X=0）=$\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$；
（Ⅱ）由题意可得X的所有可能取值为0，$\frac{1}{6}，\frac{1}{3}，\frac{2}{3}，\frac{4}{3}$．
由（Ⅰ）得：P（X=0）=$\frac{3}{5}$，
P（X=$\frac{1}{6}$）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{6}^{3}}=\frac{1}{20}$，
P（X=$\frac{1}{3}$）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{3}}=\frac{3}{20}$，
P（X=$\frac{2}{3}$）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}=\frac{3}{20}$，
P（X=$\frac{4}{3}$）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{6}^{3}}=\frac{1}{20}$．
∴随机变量X的分布列为：

X	0	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{4}{3}$
P	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{20}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{20}$

∴E（x）=$0×\frac{3}{5}+\frac{1}{6}×\frac{1}{20}+\frac{1}{3}×\frac{3}{20}+\frac{2}{3}×\frac{3}{20}+\frac{4}{3}×\frac{1}{20}=\frac{9}{40}$．

点评 本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，属中档题．