Question

18．已知等差数列{a_n}中，a₁=12，公差为d，a₃＞0，当且仅当n=3时|a_n|最小．
（Ⅰ）求公差d的取值范围；
（Ⅱ）若d∈Z（Z为整数集），求数列{|a_n|}的前n项和S_n的表达式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据已知条件，可得a₃＞0，且a₄+a₃＜0，利用等差数列的通项公式列出不等式组，求出d的范围．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，d=-5，可得a_n=-5n+17，T_n=$\frac{29n-5{n}^{2}}{2}$，分类讨论，即可求数列{|a_n|}的前n项和S_n的表达式．

解答 解：（Ⅰ）∵a₃＞0，当且仅当n=3时，|a_n|取到最小值，
∴a₃＞0，且a₄+a₃＜0，
∵a₁=12，
∴12+2d＞0，12+3d+12+2d＜0，
解得-6＜d＜-$\frac{24}{5}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，d=-5，∴a_n=-5n+17，∴T_n=$\frac{29n-5{n}^{2}}{2}$，
∴1≤n≤3时，S_n=$\frac{29n-5{n}^{2}}{2}$，
n≥4时，S_n=-T_n+2T₃=$\frac{5{n}^{2}-29n}{2}$+42，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{29n-5{n}^{2}}{2}，1≤n≤3}\\{\frac{5{n}^{2}-29n}{2}+42，n≥4}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列的通项与求和，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．