Question

10．已知曲线C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{5}$=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，直线l的极坐标方程为$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知M是曲线C上任意一点，求点M到直线l距离的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设$M（2cosθ，\sqrt{5}sinθ）$，M到l的距离为d，运用点到直线的距离公式，结合两角差的余弦公式，以及余弦函数的值域，即可得到最小值．

解答 解：（Ⅰ）由$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
得x+y-4=0，
∴直线l的直角坐标方程为x+y-4=0．
（Ⅱ）设$M（2cosθ，\sqrt{5}sinθ）$，M到l的距离为d，
则d=$\frac{|2cosθ+\sqrt{5}sinθ-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{4-3（\frac{2}{3}cosθ+\frac{\sqrt{5}}{3}sinθ）}{\sqrt{2}}$=$\frac{4-3cos（θ-φ）}{\sqrt{2}}$，
其中$cosφ=\frac{2}{3}，sinφ=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，
当cos（θ-φ）=1时，d有最小值$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴M到直线l的距离的最小值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查点到直线的距离公式的运用，同时考查余弦函数的值域，属于中档题．