Question

20．已知函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-2cos（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+2cos2x（x∈R），则函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域为[-$\frac{1}{2}$，1]．

Answer 1

分析 运用两角和差的正弦和余弦公式，及二倍角公式，化简函数f（x），再由x的范围，结合正弦函数的图象和性质，计算即可得到值域．

解答 解：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-2cos（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+2cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-2（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx）（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx）+2cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}cos2x$-cos2x+2cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
则sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]．
故答案为：[-$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题考查两角和差的正弦和余弦公式的运用，同时考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．