Question

8．如图，动点A在函数$y=\frac{1}{x}（x＜0）$的图象上，动点B在函数$y=\frac{2}{x}（x＞0）$的图象上，过点A，B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A₁，A₂，B₁，B₂，若|A₁B₁|=4，则|A₂B₂|的最小值为（　　）

• A． $3+2\sqrt{2}$
• B． $\frac{{3+2\sqrt{2}}}{4}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 设A（a，$\frac{1}{a}$），B（b，$\frac{2}{b}$），（a＜0，b＞0），由题意可得b-a=4，运用乘1法，可得|A₂B₂|=$\frac{2}{b}$-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{4}$[b+（-a）]•（$\frac{2}{b}$+$\frac{1}{-a}$），再由基本不等式，即可得到最小值．

解答 解：设A（a，$\frac{1}{a}$），B（b，$\frac{2}{b}$），（a＜0，b＞0），
|A₁B₁|=4，即为b-a=4，
|A₂B₂|=$\frac{2}{b}$-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{4}$[b+（-a）]•（$\frac{2}{b}$+$\frac{1}{-a}$）
=$\frac{1}{4}$（3+$\frac{-2a}{b}$+$\frac{b}{-a}$）≥$\frac{1}{4}$（3+2$\sqrt{2}$），
当且仅当b²=2a²，即a=4-4$\sqrt{2}$，b=8-4$\sqrt{2}$，
|A₂B₂|取得最小值，且为$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．