Question

11．如图，在四棱锥A-BCED中，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，M为棱EA的中点，CE=2BD．
（Ⅰ）求证：DM∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：平面BDM⊥平面ECA．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中点N，连接MN，BN证明MNBD为平行四边形，得到DM∥BN，然后证明DM∥面ABC．
（Ⅱ）证明BN丄AC，BD丄AC，推出AC丄面BDMN，然后证明面ECA丄面BDM．

解答 证明：（Ⅰ）取AC中点N，连接MN，BN，
由于M、N分别是AE、AC的中点，∴MN$\underline{\underline{∥}}$$\frac{1}{2}$EC，又BD$\underline{\underline{∥}}$$\frac{1}{2}$EC，
∴MN$\underline{\underline{∥}}$BD，从而MNBD为平行四边形，
∴DM∥BN，又DM?面ABC，BN⊆面ABC；
所以DM∥面ABC；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）及△ABC为等边三角形，∴BN丄AC，
又BD丄面ABC∴BD丄AC，BN∩BD=B，
从而AC⊥面BDN，即AC丄面BDMN，
而AC在平面AEC内，∴面EAC⊥上面BDMN，即面ECA丄面BDM．…（12分）

点评 本题考查平面与平面垂直的判定定理的证明，直线与平面平行的判定定理的证明．