Question

5．已知函数f（x）=me^x-$\frac{lnx}{x}$-ne^xx³，且函数f（x）在点（1，e）处的切线与直线x-（2e+1）y-3=0垂直，求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞0．

Answer 1

分析 先求导f′（x）=me^x-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$-n（e^xx³+3e^xx²），从而可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=me-ne=e}\\{f′（1）=me-1-4ne=-2e-1}\end{array}\right.$，从而解出f（x）=2e^x-$\frac{lnx}{x}$-e^xx³=$\frac{2{e}^{x}x-lnx-{e}^{x}{x}^{4}}{x}$=$\frac{{e}^{x}（2x-{x}^{4}）-lnx}{x}$，从而判断即可．

解答 证明：∵f（x）=me^x-$\frac{lnx}{x}$-ne^xx³，
∴f′（x）=me^x-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$-n（e^xx³+3e^xx²），
又∵函数f（x）在点（1，e）处的切线与直线x-（2e+1）y-3=0垂直，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=me-ne=e}\\{f′（1）=me-1-4ne=-2e-1}\end{array}\right.$，
解得，m=2，n=1；
故f（x）=2e^x-$\frac{lnx}{x}$-e^xx³
=$\frac{2{e}^{x}x-lnx-{e}^{x}{x}^{4}}{x}$
=$\frac{{e}^{x}（2x-{x}^{4}）-lnx}{x}$，
∵x∈（0，1），
∴x＞0，e^x＞0，2x-x⁴＞0，lnx＜0，
∴$\frac{{e}^{x}（2x-{x}^{4}）-lnx}{x}$＞0，
故当x∈（0，1）时，f（x）＞0．

点评 本题考查了导数的综合应用及不等式的证明，属于基础题．